摘要

本文介绍了高阶线性微分方程和欧拉方程的解法。

解的结构

高阶线性微分方程的解可以表示为：
$ y = f + y^* $
其中：

  • $ f $ 是齐次线性方程的通解。
  • $ y^* $ 是原方程的特解。

求齐次线性方程的通解

步骤：

  1. 求特征方程的解：
    $ r^n + a_n(x)y’’ + \cdots + a_n(x)y = 0 $
  2. 将组方程的根转换为通解的对应项：
    • **n 重实根 $ r ∗∗：**： e^{rx}, xe^{rx}, \cdots, x^{k-1}e^{rx} $
    • k 重实根共轭复根：
      $ e^{\alpha x} \cos\beta x, xe^{\alpha x} \cos\beta x, \cdots, x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x e^{\alpha x} \sin\beta x, xe^{\alpha x} \sin\beta x, \cdots, x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x $
  3. 通解形式：
    $ f = (c1 + c_2 x + \cdots ) e^{rx} + [(c_k + c{k+1} x + \cdots \pm \xi) e^{\beta x} \cos\beta x] + (c*{m+1} c*{m+1} x + \cdots ) \sin\beta x ] $

求非齐次线性方程的特解

基本思路：根据非齐次项的形式设计 $ y $，代入方程求参数，得到 $ y $。

情形 I：$ f(x) = P_n(x)e^{\lambda x} $：
设 $ y = x^k Q_m(x)e^{\lambda x} $，其中 $ k $ 为 $ r = \lambda $ 在特征方程的根主数。

情形 II：$ f(x) = [P_n(x) \cos \lambda x + P_n(x) \sin \lambda x] e^{\lambda x} $：
设 $ y = x^k e^{\lambda x} [R_M^{(k)} \cos \lambda x + R_{m}^{(k)} \cos \lambda x] $，其中 $ k $ 为 $ r = \lambda t \omega $ 或在特征方程的根主数，$ m = m \lambda x (1, n) $。

求复合导还是太吃操作了，有没有只需要计算多项式导数的公式的方法呢？有的兄弟，有的，不过你要背个公式。先把 x^k^乘进多项式里面，按图中的竖式计算：

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欧拉方程

形式 $ x^{n} y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = f(x) $

步骤：

  1. 换元 $ x=e^{t} $ ，$x^n y^{(n)} = D(D-1) \cdots (D-n+1) y $ ，其中 $ D^k = \frac{d^k}{d x^k} $。
  2. 求出 $ y $ 关于 $ t $ 的通解。
  3. 换元 $ t = \ln{x} $。