摘要

本文是对大学物理前三章质点运动学、牛顿运动定律、动量守恒定律和能量守恒定律的笔记。主要内容是基础的公式、概念和解题方法、易错点。

运动学基础

物理量

空间直角坐标系

位矢 $ \vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} $

位移 $ \Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (x_2 - x_1) \vec{i} + (y_2 - y_1) \vec{j} $

注意：$ |\Delta \vec{r}| \neq \Delta r $ ，$ \frac{d \vec{r}}{dt} = \frac{d \vec{s}}{dt} \neq \frac{ds}{dt} $

运动方程：$ \vec{r} = \vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k} $

轨迹方程：消去运动方程的t得到的 $ x,y,z $ 的方程（组）

速度： $ \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d \vec{r}}{dt} $

加速度： $ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d \vec{v}}{dt} $

平面极坐标系

角速度 $ \omega = \frac{d \theta}{dt} $

线速度 $ v = \omega r = \frac{d \vec{r}}{dt} $

速度 $ \vec{v} = v \vec{e}_t $

加速度 $ \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} \vec{e}_t + v \frac{d \vec{e}_t}{dt} $

角加速度 $ \alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^2 \theta}{dt^2} $

动力学基础

物理量

牛顿定律

牛顿第一定律：$ \vec{F} = 0 $，则 $ \vec{v} $ 为常量

牛顿第二定律：$ \vec{P} = m \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i t $ $ \vec{F} = \frac{d \vec{P}}{dt} = \frac{d(m \vec{v})}{dt} $

牛顿第三定律：$ \vec{F} = -\vec{F’} $

动量：$ \vec{p} = m \vec{v}$

冲量：$ \Delta\vec{p} = \vec{F} t $

功：$ dW = \vec{F} \cdot d \vec{r} = F \cdot |d \vec{r}| $

动量定理： $ \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = \Delta \vec{P} = m \vec{v} $

动量守恒： $ \vec{F}^{ext} = 0 $ 时 $ \vec{p} $ 为常量

动量守恒的条件：

  1. $ \vec{F}^{ext} = 0 $ 严格成立
  2. 外力小于内力
  3. 在某方向上 $ \vec{F}^{ex} = 0 $

动能定理 $ W = E_{k2} - E_{k1} $

功能原理： $ E - E_0 = W^{ext} + W_{nc}^{int} $

机械能守恒：$ W^{ext} + W_{nc}^{int} = 0 $ 时， $ \sum E_{k_i} + \sum E_{p_i} = \sum E_{k_i} + \sum E_{p_i} $

保守力的功和势能

保守力：做功只与质点始末位置有关，与路径无关。

非保守力：做功与路径有关，如摩擦力。

引力： $ F = G \frac{m m’}{r^2} $

引力做功：$ W = -G m m’ \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) $

引力势能：$ E_p = -G \frac{m m’}{r} $

弹性力：$ F = k x $

弹性力做功：$ W = -\left( \frac{1}{2} k x^2 - \frac{1}{2} k x_0^2 \right) $

弹性势能：$ E_p = \frac{1}{2} k x^2 $

解题

动力学问题的分析

显然，在已知运动方程的条件下，直接求导即可算出速度和加速度。然而在实际问题中，常常出现加速度与位移、速度、时间有关的情况，对于一般的 $ \vec{a} = f(\vec r, \vec v, t) $ 问题，想要求解运动方程通常是困难的，我们只讨论简单的情形。

情形I：已知 $ \vec{a} = f(\vec v, t) $，通过直接积分可以依次求解速度和位移。

情形II：已知 $ \vec{a} = f(\vec{r}, \vec{v}) $， $ \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \frac{d \vec{v}}{d \vec{r}} = \vec{v} \frac{d \vec{v}}{d \vec{r}} = f(\vec{r}, \vec{v}) $ ，通过积分可求求 $ \vec{v}$ 和 $ \vec{r} $ 的关系。

矢量表示

由于矢量不能直接求导和积分，在解题中我们分别对分量进行求导和积分，而这些不能作为最终结果。在描述位移、速度、加速度这类矢量时，需要用矢量式或用矢量的大小+方向。

分解运动

对于质点运动可分解为多个运动的叠加，记每个运动相关矢量是 $ \vec{r}_i, \vec{v}_i, \vec{a}_i $。

则合运动 $ \vec{r} = \sum \vec{r}_i $ ，$ \vec{v} = \sum \vec{v}_i $， $ \vec{a} = \sum \vec{a}_i $

当且仅当 $ \vec{a}_i = f(\vec{r}_i, \vec{v}_i, t) $ 时成立，这里的 $ \vec{r}_i $ 和 $ \vec{v}_i $ 不可被 $ \vec{r} $ 和 $ \vec{v} $ 代替。

相对运动

设S为参考系，与S’参考系坐标轴始终平行。则质点P满足 $ \vec{r}{PS} = \vec{r}{PS}’ + \vec{r}{SS’} ，， \vec{v}{PS} = \vec{v}{PS}’ + \vec{v}{SS’} ，， \vec{a}{PS} = \vec{a}{PS}’ + \vec{a}_{SS’} $

质心

质心，n个质点组成质点系，质心位置 $ \vec{r}c = \frac{\sum{i=1}^{n} m_i \vec{r}i}{\sum{i=1}^{n} m_i} $

质心运动定理 $ m’ \vec{r}c = \sum{i=1}^{n} m_i \vec{v}i = \sum{i=1}^{n} \vec{P}_i $

$ \sum_{i=1}^{n} \vec{F}^{ext}i = \frac{d}{dt} \sum{i=1}^{n} m_i \vec{v}_i = m’ \frac{d \vec{v}_c}{dt} = m’ \vec{a}_c $

非考纲内容，可以作为解题技巧使用。例如：一物体斜抛到最高点分裂成A、B两部分，已知A落点，求B落点。这种题目很好求质心的落点，利用质心公式即可快速求出B的落点，而不用进行复杂的运动分析。

易错点：合外力为零

选择题中，经常需要判断动量和机械能是否守恒，动量守恒要求合外力为0，机械能守恒要求合外力做功为0。易混淆的地方在于，合外力为零不等于合外力做功为0，机械能守恒是对于系统而言而不是单个质点，例如：当大小相同、方向相反的力分别作用于系统中两个不同的质点，可以同时做正功，显然合外力做功不为0，机械能不守恒。