【大物笔记】经典力学基础

摘要

本文是对大学物理前三章质点运动学、牛顿运动定律、动量守恒定律和能量守恒定律的笔记。主要内容是基础的公式、概念和解题方法、易错点。

运动学基础

物理量

空间直角坐标系

位矢 $\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$

位移 $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (x_2 - x_1) \vec{i} + (y_2 - y_1) \vec{j}$

注意：$|\Delta \vec{r}| \neq \Delta r$ ，$\frac{d \vec{r}}{dt} = \frac{d \vec{s}}{dt} \neq \frac{ds}{dt}$

运动方程：$\vec{r} = \vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k}$

轨迹方程：消去运动方程的t得到的 $x,y,z$ 的方程（组）

速度： $\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d \vec{r}}{dt}$

加速度： $\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d \vec{v}}{dt}$

平面极坐标系

角速度 $\omega = \frac{d \theta}{dt}$

线速度 $v = \omega r = \frac{d \vec{r}}{dt}$

速度 $\vec{v} = v \vec{e}_t$

加速度 $\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} \vec{e}_t + v \frac{d \vec{e}_t}{dt}$

角加速度 $\alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^2 \theta}{dt^2}$

动力学基础

物理量

牛顿定律

牛顿第一定律：$\vec{F} = 0$，则 $\vec{v}$ 为常量

牛顿第二定律：$\vec{P} = m \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i t$ $\vec{F} = \frac{d \vec{P}}{dt} = \frac{d(m \vec{v})}{dt}$

牛顿第三定律：$\vec{F} = -\vec{F'}$

动量：$\vec{p} = m \vec{v}$

冲量：$\Delta\vec{p} = \vec{F} t$

功：$dW = \vec{F} \cdot d \vec{r} = F \cdot |d \vec{r}|$

动量定理： $\int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = \Delta \vec{P} = m \vec{v}$

动量守恒： $\vec{F}^{ext} = 0$ 时 $\vec{p}$ 为常量

动量守恒的条件：

1. $\vec{F}^{ext} = 0$ 严格成立
2. 外力小于内力
3. 在某方向上 $\vec{F}^{ex} = 0$

动能定理 $W = E_{k2} - E_{k1}$

功能原理： $E - E_0 = W^{ext} + W_{nc}^{int}$

机械能守恒：$W^{ext} + W_{nc}^{int} = 0$ 时， $\sum E_{k_i} + \sum E_{p_i} = \sum E_{k_i} + \sum E_{p_i}$

保守力的功和势能

保守力：做功只与质点始末位置有关，与路径无关。

非保守力：做功与路径有关，如摩擦力。

引力： $F = G \frac{m m'}{r^2}$

引力做功：$W = -G m m' \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$

引力势能：$E_p = -G \frac{m m'}{r}$

弹性力：$F = k x$

弹性力做功：$W = -\left( \frac{1}{2} k x^2 - \frac{1}{2} k x_0^2 \right)$

弹性势能：$E_p = \frac{1}{2} k x^2$

解题

动力学问题的分析

显然，在已知运动方程的条件下，直接求导即可算出速度和加速度。然而在实际问题中，常常出现加速度与位移、速度、时间有关的情况，对于一般的 $\vec{a} = f(\vec r, \vec v, t)$ 问题，想要求解运动方程通常是困难的，我们只讨论简单的情形。

情形I：已知 $\vec{a} = f(\vec v, t)$，通过直接积分可以依次求解速度和位移。

情形II：已知 $\vec{a} = f(\vec{r}, \vec{v})$， $\frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \frac{d \vec{v}}{d \vec{r}} = \vec{v} \frac{d \vec{v}}{d \vec{r}} = f(\vec{r}, \vec{v})$ ，通过积分可求求 $\vec{v}$ 和 $\vec{r}$ 的关系。

矢量表示

由于矢量不能直接求导和积分，在解题中我们分别对分量进行求导和积分，而这些不能作为最终结果。在描述位移、速度、加速度这类矢量时，需要用矢量式或用矢量的大小+方向。

分解运动

对于质点运动可分解为多个运动的叠加，记每个运动相关矢量是 $\vec{r}_i, \vec{v}_i, \vec{a}_i$。

则合运动 $\vec{r} = \sum \vec{r}_i$ ，$\vec{v} = \sum \vec{v}_i$， $\vec{a} = \sum \vec{a}_i$

当且仅当 $\vec{a}_i = f(\vec{r}_i, \vec{v}_i, t)$ 时成立，这里的 $\vec{r}_i$ 和 $\vec{v}_i$ 不可被 $\vec{r}$ 和 $\vec{v}$ 代替。

相对运动

设S为参考系，与S'参考系坐标轴始终平行。则质点P满足 $\vec{r}_{PS} = \vec{r}_{PS}' + \vec{r}_{SS'}$，$\vec{v}_{PS} = \vec{v}_{PS}' + \vec{v}_{SS'}$，$\vec{a}_{PS} = \vec{a}_{PS}' + \vec{a}_{SS'}$

质心

质心，n个质点组成质点系，质心位置 $\vec{r}_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

质心运动定理 $m' \vec{r}_c = \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{v}_i = \sum_{i=1}^{n} \vec{P}_i$

$\sum_{i=1}^{n} \vec{F}^{ext}_i = \frac{d}{dt} \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{v}_i = m' \frac{d \vec{v}_c}{dt} = m' \vec{a}_c$

非考纲内容，可以作为解题技巧使用。例如：一物体斜抛到最高点分裂成A、B两部分，已知A落点，求B落点。这种题目很好求质心的落点，利用质心公式即可快速求出B的落点，而不用进行复杂的运动分析。

易错点：合外力为零

选择题中，经常需要判断动量和机械能是否守恒，动量守恒要求合外力为0，机械能守恒要求合外力做功为0。易混淆的地方在于，合外力为零不等于合外力做功为0，机械能守恒是对于系统而言而不是单个质点，例如：当大小相同、方向相反的力分别作用于系统中两个不同的质点，可以同时做正功，显然合外力做功不为0，机械能不守恒。