【高数笔记】高阶线性微分方程

摘要

本文介绍了高阶线性微分方程和欧拉方程的解法。

解的结构

高阶线性微分方程的解可以表示为：
$y = f + y^*$
其中：

• $f$ 是齐次线性方程的通解。
• $y^*$ 是原方程的特解。

求齐次线性方程的通解

步骤：

1. 求特征方程的解：
   $r^n + a_n(x)y'' + \cdots + a_n(x)y = 0$
2. 将组方程的根转换为通解的对应项：
   • n 重实根 $r$：
     $e^{rx}, xe^{rx}, \cdots, x^{k-1}e^{rx}$
   • k 重实根共轭复根：
     $e^{\alpha x} \cos\beta x, xe^{\alpha x} \cos\beta x, \cdots, x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x$
     $e^{\alpha x} \sin\beta x, xe^{\alpha x} \sin\beta x, \cdots, x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x$
3. 通解形式：
   $f = (c_1 + c_2 x + \cdots ) e^{rx} + [(c_k + c_{k+1} x + \cdots \pm \xi) e^{\beta x} \cos\beta x] + (c_{m+1} c_{m+1} x + \cdots ) \sin\beta x ]$

求非齐次线性方程的特解

基本思路：根据非齐次项的形式设计 $y$，代入方程求参数，得到 $y$。

情形I：$f(x) = P_n(x)e^{\lambda x}$：
设 $y = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}$，其中 $k$ 为 $r = \lambda$ 在特征方程的根主数。

情形II：$f(x) = [P_n(x) \cos \lambda x + P_n(x) \sin \lambda x] e^{\lambda x}$：
设 $y = x^k e^{\lambda x} [R_M^{(k)} \cos \lambda x + R_{m}^{(k)} \cos \lambda x]$，其中 $k$ 为 $r = \lambda t \omega$ 或在特征方程的根主数，$m = m \lambda x (1, n)$。

求复合导还是太吃操作了，有没有只需要计算多项式导数的公式的方法呢？有的兄弟，有的，不过你要背个公式。先把x^k乘进多项式里面，按图中的竖式计算：

欧拉方程

形式 $x^{n} y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = f(x)$

步骤：

1. 换元 $x=e^{t}$ ，$x^n y^{(n)} = D(D-1) \cdots (D-n+1) y$ ，其中 $D^k = \frac{d^k}{d x^k}$。
2. 求出 $y$ 关于 $t$ 的通解。
3. 换元 $t = \ln{x}$。